# A Guide to Arithmetic [Lecture notes] by Robin Chapman

By Robin Chapman

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3 Gruppen 49 (4) Für alle n ≥ 1 bildet ‫ޒ‬n mit der komponenten- oder punktweisen Addition (x1 , …, x n ) + (y1 , …, yn ) = (x1 + y1 , …, x n + yn ) eine Gruppe. Das Element (0, …, 0) ist neutral und (−x1 , …, −x n ) ist invers zu (x1 , …, x n ). (5) Für alle m ≥ 1 bildet ‫ޚ‬m = ‫ޚ‬/ϵm unter der Addition [ a ] + [ b ] = [ a + b ] von Restklassen eine Gruppe. ‫ޚ‬m* = ‫ޚ‬m − { 0 } bildet unter der Multiplikation [ a ] ⋅ [ b ] = [ ab ] genau dann eine Gruppe, wenn m eine Primzahl ist. (6) Sind G1 und G2 Gruppen, so ist auch das Produkt G = G1 × G2 eine Gruppe.

So in der Ordnung hochkletternd finden wir entweder ein maximales Element an wie gewünscht, oder aber wir erhalten eine unendliche Kette a 0 < a1 < … < a n < … Nun hilft uns die Kettenbedingung weiter. Denn B = { an | n ∈ ‫ } ގ‬ist linear geordnet. Nach (#) existiert also eine obere Schranke von B. Wir wählen eine derartige Schranke, die wir aω nennen (wobei ω an ∞ erinnert). Wir klettern nun nach aω und blicken von dort erneut nach oben. Ist Xω = { a ∈ A | a > aω } leer, so ist aω maximal. Andernfalls wählen wir ein beliebiges aω + 1 ∈ Xω und wiederholen das Verfahren des Hochkletterns, wobei wir an „Limesstellen“ des Hochkletterns die Kettenbedingung (#) zu Hilfe rufen.

1 Halbgruppen 45 Beispiele (1) ‫ގ‬, ‫ޚ‬, ‫ޑ‬, ‫ޒ‬, ‫ ރ‬bilden mit der üblichen Addition Halbgruppen. Das Gleiche gilt für die Multiplikation. (2) Ist G = { 2n | n ∈ ‫ } ގ‬die Menge der geraden und U = ‫ ގ‬− G die Menge der ungeraden Zahlen, so sind (G, +), (G, ⋅) und (U, ⋅) mit der üblichen Addition und Multiplikation Halbgruppen. Dagegen ist (U, +) keine Halbgruppe, da + wegen 1 + 1 ∉ U keine Operation auf U ist. (3) Ist A eine Menge und H = { f | f : A → A }, so ist (H, ‫ )ؠ‬eine Halbgruppe. Gleiches gilt für H′ = { f | f : A → A ist injektiv }.