Algèbre: Chapitre 10. Algèbre homologique by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce dixième chapitre du Livre d Algèbre, deuxième Livre du traité, pose les bases du calcul homologique.

Ce quantity est a été publié en 1980.

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Les complexes Cyl (u) et Con (u) sont appelés respectivement le cylindre et le cône du morplristnr u. w/uplc. - Soit u : M -+ N un homomorphisme de A-modules ; alors les seules composantes homogènes non nulles de Cyl (u) et Con (u) sont Con1 (u) = M , et on a D(m) = (112, - u(m)), D(m) = Con, (u) = N , - ~ ( m pour ) m E M ; par conséquent, H,(Con (u)) = Ker (u) , H,(Con (u)) = Coker (u) . * Soient X et Y deux espaces topologiques et f' une application continue de X dans Y . On appelle cylindre de f l'espace quotient Cyl (f) de la somme topologique de (O, 1) x X et Y par la relation d'équivalence identifiant le point (1, x) de (O; 1) x X au point f(x) de Y pour tout x E X.

A dx, . Le A-module RP,I, étant engendré par les éléments d x , l'unicité de d. A ... A dx,, ceci prouve Pour prouver l'existence, il suffit de construire un k-homomorphisme d l : R i k + R i l k tel que d l O d o = O et ( 1 1) (1' ((/CO) = (lO((i)A (O + ( 1 d l ( w ) pour E A , o 6 C2: . En effet, il résulte alors de III, p. 128, prop. 14 (compte tenu de I I I , p. 118, remarque 2) qu'il existe une antidériv'ation d : RA,, -. RA,, qui coïncide avec d o en degré O et avec d l en degré 1. Comme d o est nulle sur A, l'antidérivation d est k-linéaire; comme d l o d o = O, on a d O d = O puisque RAI, est engendrée comme A-algèbre par les éléments d o a pour a E A.

Si (P,p) et (Pt, p') (resp. (e, E) et (el, Et)) sont deux résolutions gauches (resp. droites) de M, un morphisme de complexes f : P + P' tel que p' o f = p (resp. g : E + Et tel que g O e = et) est appelé un morphisme de résolutions. PROPOSITION 2. - Soient P un complexe nul à droite et p : P 4 M un morphisme. ~~ -P,~~IP,&M-o soit exacte. En effet, dire que p : P -t M est un homologisme signifie que H i(P) = O pour i > O et que p, induit un isomorphisme de Coker (d, : P l + Po) sur M. De même : PROPOSITION 2bis.

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