Analysis 3 by Herbert Amann, Joachim Escher

By Herbert Amann, Joachim Escher

Der dritte und letzte Band dieser Reihe ist der Integrationstheorie und den Grundlagen der globalen research gewidmet. Es wird wiederum viel Wert auf einen modernen und klaren Aufbau gelegt, der nicht nur eine wohl strukturierte sch?ne Theorie liefert, sondern dem Leser auch schlagkr?ftige Werkzeuge f?r seine weitere Besch?ftigung mit der Mathematik in die Hand gibt. Aus diesem Grund wird beispielsweise konsequent das Bochner-Lebesguesche essential entwickelt, welches ein unverzichtbares Hilfsmittel f?r die moderne Theorie der partiellen Differentialgleichungen darstellt. Ebenso wird eine model des Stokesschen Satzes bewiesen, welche den praktischen Bed?rfnissen der Mathematik und theoretischen Physik weitgehend Rechnung tr?gt.

Wie bereits in den fr?heren B?nden, werden auch hier zahlreiche Ausblicke auf weiterf?hrende Theorien gegeben, die dem Leser einen Eindruck von der Bedeutung und der St?rke der entwickelten Theorien vermitteln sollen. Daneben dienen diese Abschnitte dazu, den bereitgestellten Stoff weiter einzu?ben und zu vertiefen. Zahlreiche Beispiele, konkrete Rechnungen, eine Vielzahl von ?bungsaufgaben und viele Abbildungen machen dieses Lehrbuch zu einem verl?sslichen Begleiter durch das gesamte Studium.

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2 Beispiel Jede Teilmenge von Rn , die in einer Koordinatenhyperebene enthalten ist, ist eine λn -Nullmenge. Beweis Aufgrund der Vollst¨ andigkeit von λn gen¨ ugt es zu zeigen, daß jede Koordinatenhyperebene eine λn -Nullmenge ist. Wir betrachten den Fall H := Rn−1 × {0}. Es sei ε > 0, und f¨ ur k ∈ N× seien εk := ε(2k)−n+1 2−(k+2) und Jk (ε) := (−k, k)n−1 × (−εk , εk ) ∈ J . ∞ Dann gilt voln Jk (ε) = ε2−(k+1) , und somit k=1 voln Jk (ε) = ε/2 < ε. 1(v). ¨ Eine offensichtliche Modifikation dieser Uberlegungen ergibt die Behauptung f¨ ur die anderen Koordinatenhyperebenen.

9 nicht auf die lokale Lipschitz Stetigkeit verzichtet werden. Beweis F¨ ur N := [0, 1] × {0} ⊂ R2 gilt λ2 (N ) = 0. 8, so sind γ ∈ C(N, R2 ) und γ(N ) = B √ ” ¯ 2 ein achsenparalleles Quadrat der Seitenl¨ λ2 γ(N ) > 2, da B ange 2 enth¨ alt. (b) Es sei N eine λn -Nullmenge, und es gelte f ∈ C 1- (N, Rm ) mit m < n. Dann ist f (N ) i. allg. keine λm -Nullmenge. Beweis F¨ ur N := (0, 1) × {0} ⊂ R2 und f := pr1 ∈ C ∞ (N, R) gelten λ2 (N ) = 0 und λ1 f (N ) = λ1 (0, 1) = 1. 7 nun leicht die nachstehende Invarianzaussage.

B. [Fal90]). 3 Es seien X ein topologischer Raum und μ : A → [0, ∞] ein Maß mit A ⊃ B(X). Man nennt μ lokal endlich, wenn es zu jedem x ∈ X eine offene Umgebung U von x gibt mit μ(U ) < ∞. 40 IX Elemente der Maßtheorie (ii) Es sei F0 := F : R → R ; F ist maßerzeugend mit F (0) = 0 . Dann ist F → μF | B1 eine Bijektion von F0 auf die Menge aller lokal endlichen Maße auf B1 . ) f¨ ur 10 Es sei F : R → R eine maßerzeugende Funktion mit folgenden Eigenschaften: F¨ ur k ∈ Z gibt es ak < ak+1 mit limk→±∞ ak = ±∞, und F besitze in ak einen Sprung der H¨ ohe pk ≥ 0.

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